금강비

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 서양에 황금비가 있다면 동양엔 금강비가 있다. 석굴암이 금강비를 활용한 대표적 사례다.

 금강비를 가진 직사각형을 반으로 나누면 나눠진 두 개의 직사각형 역시 금강비를 가진다. 따라서 자원 낭비가 거의 생기지 않도록 동일한 비율의 규격을 여러 개 만들 수 있어 A4용지 등에 사용된다.

 금강비의 정의는 다음과 같다. $\Box ABCD$에서 $\overline{AD}$ 위에 중점 $M$ 을 잡는다. 이때 다음을 만족하면 $\overline{AD}$와 $\overline{AB}$가 금강비를 이룬다고 한다.

$$\overline{AD}:\overline{AB}=\overline{AB}:\overline{AM}$$

 

 

 금강비를 계산해보자.

$$let~~~ \overline{AB}=1,~\overline{AD}=x~~\Rightarrow~\overline{AM}=\frac{x}{2}$$

$$\Rightarrow~x:1=1:\frac{x}{2}$$

$$\Rightarrow~\frac{x^2}{2}=1$$

$$x=\sqrt{2}=1.414\cdot\cdot\cdot$$

(번외)

 $\sqrt{2}$는 무리수일까?

$$let~~~\sqrt{2}=\frac{p}{q}~(p~and~q~are~ coprime~integers)$$

$$\Rightarrow~2=\frac{p^2}{q^2} ~\Rightarrow~p^2=2q^2 ~\Rightarrow~p^2~is~even ~\Rightarrow~p~is~even$$

$$\left(\begin{cases}(2n)^2 & =4n^2\\(2n+1)^2 & =4n^2+4n+1\end{cases}\Rightarrow if~n~is~odd,~n^2~is~odd \Rightarrow if~n^2~is~even,~n~is~even\right)$$

$$let~~~p=2k \Rightarrow 4k^2=2q^2 \Rightarrow q^2=2k^2 \Rightarrow q^2~is~even \Rightarrow q~is~even$$

$$\therefore~p~and~q~are~even,~so~they~are~not~coprime~integers.$$

$$\therefore~\sqrt{2}~is~not~rational~number$$