기체 속력 대푯값 비교

  기체 속력은 맥스웰-볼츠만 분포를 가진다. 따라서 기체의 속력을 나타낼 때에는 필요에 따라 특정 대푯값을 선택한다. 기체 속력의 대푯값에는 rms 속력, 평균 속력, 최빈 속력이 있다. 맥스웰-볼츠만 분포와 속력의 세 대푯값에 관해서는 정리된 다른 좋은 글들이 있기 때문에 참고하면 좋겠다. 여기서는 왜 ${v_{p} < v_{m} < v_{rms}}$ 인지 알아보자.

1. 정량적 관점에서

  이상기체 입자들의 속력 분포를 나타내는 맥스웰-볼츠만 분포로부터 기체 속력의 대푯값들을 구할 수 있다. 맥스웰-볼츠만 분포는 간단하면서도 합리적인 과정을 통해 유도되는 믿을 만한 소스다. 여기서부터 대푯값들을 구해보자.

볼츠만 분포 식

$${f(v) = 4 \pi ( \frac{M}{2 \pi RT} )^{\frac{3}{2}} v^{2} e^{-\frac{Mv^{2}}{2RT}}}$$

 

i) 최빈 속력 ${v_{p}}$ (Most probable speed)

  분포의 극점을 찾기 위해 분포 식을 미분하여 이 값이 0이 되는 지점을 찾는다.

$$\frac{df(v)}{dv} = 4 \pi ( \frac{M}{2 \pi RT} )^{\frac{3}{2}} (2v-\frac{Mv^{3}}{RT}) e^{-\frac{Mv^{2}}{2RT}}=0$$

$$2v-\frac{Mv^{3}}{RT} = 0$$

$$\therefore v_{p} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$$

 

ii) 평균 속력 ${v_{m}}$ (Mean speed)

  ${f(v)}$ 가 확률분포이므로, 평균값은 ${\int_{0}^{\infty} vf(v)dv}$

$$v_{m}=\int_{0}^{\infty} vf(v)dv = \int_{0}^{\infty} 4 \pi ( \frac{M}{2 \pi RT} )^{\frac{3}{2}} v^{3} e^{-\frac{Mv^{2}}{2RT}}dv$$

$$= 4 \pi ( \frac{M}{2 \pi RT} )^{\frac{3}{2}} [- \frac{RT}{M}v^{2} e^{-\frac{Mv^{2}}{2RT}}-2(\frac{RT}{M})^{2}e^{-\frac{Mv^{2}}{2RT}}]_{0} ^{\infty}$$

$$= 4 \pi ( \frac{M}{2 \pi RT} )^{\frac{3}{2}} \cdot 2(\frac{RT}{M})^{2} = (\frac{2^{3} RT}{\pi M})^{1/2}$$

$$\therefore v_{m} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$$

 

iii) rms 속력 ${v_{rms}}$ (Root Mean Square speed)

  정의에 따라 ${v_{rms} = \sqrt{\int_{0}^{\infty} v^{2} f(v)dv}}$

$$v_{rms}^{2} = \int_{0}^{\infty} v^{2} f(v)dv = 4 \pi ( \frac{M}{2 \pi RT} )^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} v^{4} e^{-\frac{Mv^{2}}{2RT}}dv$$

$$= 4 \pi ( \frac{M}{2 \pi RT} )^{\frac{3}{2}} \frac{3RT}{M} \frac{RT}{M} \sqrt{\frac{\pi RT}{2M}} = \frac{3RT}{M}$$

$$\therefore v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

 

$$\therefore v_{p} < v_{m} < v_{rms}$$

 

 

2. 정성적 관점에서

i) 최빈 속력과 평균 속력

  속력은 양의 값이므로 이론적으로 ${[0, \infty)}$ 의 범위를 가진다. 여기서 가장 빈번하게 관측되는 속력 ${v_{p}}$가 정해졌다고 가정하자.

통계학에서 평균(기댓값) = (사건의 값) x (사건 발생 확률)임을 응용하면 ${v_{m} = \sum (v_{i} \times f(v_{i}))}$ (이때 ${f(v)}$는 ${v}$의 속력을 가지는 입자의 비율)

이때, 우리는 맥스웰-볼츠만 분포가 맞다고 가정하였으므로, 구간 ${[0, v_{p}]}$ 보다 구간 ${[v_{p}, \infty)}$ 이 월등히 (무한히) 길다. 또한 ${0\leq f(v_{i}) \leq 1}$ 이므로 ${v_{m}}$은 ${f(v_{i})}$보다 ${v_{i}}$의 영향을 크게 받는다.

따라서 ${v_{m} =  \sum (v_{i} \times f(v_{i})) > v_{p}}$

 

ii) 평균 속력과 rms 속력

  ${x_{1}}$과 ${x_{2}}$의 평균 ${\frac{x_{1}+x_{2}}{2}}$과 제곱평균제곱근 ${\sqrt{\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}}}$을 비교하자.

$$\sqrt{\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{x_{1}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{2}^{2}} \geq \sqrt{x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}} = \frac{x_{1}+x_{2}}{2}$$

( ${\because}$ 산술기하평균 부등식에 의해 ${\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \geq \sqrt{x_{1}x_{2}} \ \Rightarrow \  x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \geq 2x_{1}x_{2}}$ (등호성립조건은 ${x_{1} = x_{2}}$))

이를 확장하면 ${x_{rms}^{2} (= \frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdot\cdot\cdot + x_{n}^{2}}{n}) \geq x_{m}^{2} (=(\frac{x_{1}+x_{2}+ \cdot\cdot\cdot +x_{n}}{n})^{2})}$

따라서 ${v_{rms} > v_{m}}$ (${\because}$ 모든 입자의 속력이 동일하지 않기 때문에 등호 성립 X)

즉, 계산 방식에서 비롯된 수학적 원인으로 인해 ${v_{rms} > v_{m}}$

 

$$\therefore v_{p} < v_{m} < v_{rms}$$