황금비

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 황금비의 정의는, \(\overline{AB}\) 위에 \(\overline{AB} : \overline{AC} = \overline{AC} : \overline{CB}\) 를 만족하는 한 점 C를 잡았을 때 \(\overline{AC}\) 와 \(\overline{CB}\) 의 비율이다.

 

 예술작품 등에 응용되어 아름다움을 극대화시킨다는 말이 있지만, 사실과는 다르다. (자세한 건 조금만 검색해보아도 찾을 수 있다..) 다만 수학에서는 큰 의미가 있다. 유리수로 근사할 때 분모의 크기에 비해 오차가 가장 큰 무리수이기 때문에 ‘가장 무리수다운 무리수’라는 별명이 있다. 최선의 근사는 피보나치 수열을 이용하는 것이며, 연분수로 나타내면 1만 나온다.

 

 실제로 비율의 값을 구해보자.

$$let \ \ \overline{AC} = x, \ \overline{BC} = 1$$

$$then \ \ \overline{AB} : \overline{AC} = \overline{AC} : \overline{CB}$$

$$\Rightarrow 1+x : x = x : 1$$

$$\Rightarrow x^2-x-1=0$$

$$\therefore x = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$

 

비율이므로 양수를 채택하여 값을 계산해보면

$$x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.61803398875\cdot\cdot\cdot$$

우리가 알고 있는 1.618 어쩌구 하는 황금비의 값이 나온다!

 

정오각형에서 황금비를 발견할 수 있다.

$$let \ \ \overline{BP}=1, \ \overline{PE}=x$$

$$\triangle ACE ∾ \triangle AEP \Rightarrow \overline{AP}:\overline{AE}=\overline{AE}:\overline{AC}$$

$$By ~ the ~ way, ~~ \overline{AP}=\overline{BP}=1,~\overline{AE}=\overline{PE}=x,~\overline{AC}=\overline{AP}+\overline{PC}=1+x$$

$$\Rightarrow \overline{AP} \cdot \overline{AC}=\overline{AE}^2$$

$$\Rightarrow 1 \cdot (1+x) = x^2$$

$$\Rightarrow x^2 - x - 1 = 0$$

$$\therefore x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$

으로 위에서 구한 황금비의 정의에 부합한다.