피보나치 수열의 일반항

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 피보나치 수열은 레오나르도 피보나치가 1202년 토끼의 번식을 언급하면서 연구한 수열이다. 우리나라에서도 피보나치킨으로 응용된다.

 

피보나치 수열의 일반항

피보나치 수열의 정의로부터 시작하자.

$$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n ~ (n\geq 1, ~~ a_1=1, ~ a_2=1)$$

 

점화식을 방정식으로 바꾸어 구한 해를 $\alpha,\beta$라 하면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$a_{n+2}-\alpha \cdot a_{n+1} = \beta \cdot (a_{n+1}- \alpha \cdot a_n)$$

$$or~~a_{n+2}-\beta \cdot a_{n+1} = \alpha \cdot (a_{n+1}- \beta \cdot a_n)$$

$$(because ~~ x^2 - (\alpha+\beta)\cdot x + \alpha\beta = 0)$$

$$\Rightarrow x^2=x+1$$

$$\Rightarrow x^2-x-1=0$$

$$\Rightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$

$$let~~~\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2},~\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

 

$i)~a_{n+2}-\alpha \cdot a_{n+1} = \beta \cdot (a_{n+1}- \alpha \cdot a_n)$

$$let~~~b_n=a_{n+1}-\alpha\cdot a_n$$

$$then~~~b_{n+1}=\beta\cdot b_n, ~~ b_1=1-\alpha=\beta$$

$$\therefore b_n = \beta^n$$

 

$ii)~a_{n+2}-\beta \cdot a_{n+1} = \alpha \cdot (a_{n+1}- \beta \cdot a_n)$

$$let~~~c_n=a_{n+1}-\beta\cdot a_n$$

$$then~~~c_{n+1}=\alpha\cdot c_n, ~~ c_1=1-\beta=\alpha$$

$$\therefore c_n = \alpha^n$$

 

$$\Rightarrow ~ c_n-b_n=(a_{n+1}-\beta\cdot a_n)-(a_{n+1}-\alpha\cdot a_n)= (\alpha-\beta)\cdot a_n$$

 

$$By~the~way,~c_n-b_n=\alpha^n-\beta^n$$

$$\therefore a_n = \frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}=\frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n\cdot \sqrt{5}}$$

피보나치 수열과 황금비

 피보나치 수열과 황금비가 관련되어 있다는 사실을 알고 있는가? 피보나치 수열 $a_n$에서 $n$값이 커질수록 $a_{n+1} / a_n$의 비가 황금비와 같아진다.

 

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}}{2^{n+1}\cdot \sqrt{5}}\cdot\frac{2^n\cdot \sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}$$

$$=\frac{1}{2}\cdot\frac{(1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}}{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}$$

$$=\frac{1}{2}\cdot\frac{(1+\sqrt{5})-\frac{(1-\sqrt{5})^{n+1}}{(1+\sqrt{5})^n}}{1-\frac{(1-\sqrt{5})^n}{(1+\sqrt{5})^n}}$$

$$=\frac{1}{2}\cdot\frac{(1+\sqrt{5})+(\sqrt{5}-1)\cdot\left(\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right)^n}{1-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right)^n}$$

 

$$By~the~way,~|1+\sqrt{5}|>|1-\sqrt{5}|$$

$$\Rightarrow~\left|\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right|<1$$

$$\Rightarrow~\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right)^n=0$$

$$\therefore \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}\cdot(1+\sqrt{5})=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618\cdot\cdot\cdot$$